Ich versuche, die Ableitung der turbulenten kinetischen Energiegleichung zu verstehen, wie in diesem Link beschrieben: Bewertung von RANS-Turbulenzmodellen für Strömungsprobleme mit erheblichem Einfluss von Grenzschichten.
Ich kann Gleichung 2.26 auf Folie 11 (dh Seite 9) folgen, in der
$$ \ rho \ overline {\ frac {\ partielle u_i '} {\ partielle t } u_i '} + \ rho \ left (\ overline {u_j \ frac {\ partielle u_i} {\ partielle x_j} u_i} - \ bar {u} _j \ frac {\ partielle u_i'} {\ partielle x_j} \ bar {u} _i \ right) = - \ overline {\ frac {\ partielle p '} {\ partielle x_j} u_i'} + \ nu \ overline {u_i '\ nabla ^ 2u_i'} + \ rho \ frac {\ partielle (\ overline {u_i'u_j '})} {\ partielle x_j} \ bar {u} _i, $$
wobei die Überstriche die Ensemble-Durchschnittswerte der Mengen unter den Balken bezeichnen. Beachten Sie, dass hier der Durchschnitt eines Produkts nicht unbedingt dem Produkt des Durchschnitts jedes Begriffs entspricht.
Gemäß dem Link, der nur Mittelungsregeln verwendet, wird der Begriff
$$ \ left (\ overline {u_j \ frac {\ partielle u_i} {\ partielle x_j} u_i} - \ bar {u} _j \ frac {\ teilweise u_i '} {\ partielle x_j} \ bar {u} _i \ rechts) $$
kann vereinfacht werden, um
$ zu werden $ \ overline {u_i '\ frac {u_i'} {\ partielle x_j}} \ bar {u} _j + \ overline {\ frac {\ partielle u_i '} {\ partielle x_j} u_i'u_j'} + \ overline { \ frac {\ partielle u_i '} {\ partielle x_j} u_j'} \ bar {u} _i + \ overline {u_j'u_i '} \ frac {\ partielle u_i} {\ partielle x_j}. $$
Wenn ich dies direkt in die vorherige Gleichung einsetze, erhalte ich
$$ \ rho \ left (\ overline {\ frac {\ partielle u_i '} {\ partielle t} u_i'} + \ overline {u_i '\ frac {u_i'} {\ partielle x_j}} \ bar {u} _j + \ overline {\ frac {\ partielle u_i '} {\ partielle x_j} u_i'u_j'} + \ underbrace {\ overline {\ frac {\ partielle u_i '} {\ partielle x_j} u_j'} \ bar {u} _i} _ {\ text {meine 4. Amtszeit}} + \ overline {u_j'u_i '} \ frac {\ partielle u_i} {\ partielle x_j} \ rechts) = - \ overline {\ frac {\ partielle p '} {\ partielle x_j} u_i'} + \ nu \ overline {u_i '\ nabla ^ 2u_i'} + \ rho \ frac {\ teilweise (\ overline {u_i'u_j '})} {\ partiell x_j} \ bar {u} _i. $$
Ihre Ableitung ergibt jedoch
$$ \ rho \ left (\ overline {\ frac {\ partielle u_i '} {\ partielle t} u_i'} + \ overline {u_i '\ frac {u_i'} {\ partielle x_j}} \ bar { u} _j + \ overline {\ frac {\ partielle u_i '} {\ partielle x_j} u_i'u_j'} + \ underbrace {\ overline {\ frac {\ partielle u_i'u_j '} {\ partielle x_j}} \ bar {u} _i} _ {\ text {ihr 4. Term}} + \ overline {u_j'u_i '} \ frac {\ partielle u_i} {\ partielle x_j} \ rechts) = - \ overline {\ frac {\ partielle p '} {\ partielle x_j} u_i'} + \ nu \ overline {u_i '\ nabla ^ 2u_i'} + \ rho \ frac {\ partielle (\ overline {u_i'u_j '})} {\ partielle x_j} \ bar {u} _i. $$
Der einzige Unterschied zwischen meiner Ableitung und ihrer ist der 4. Term auf der linken Seite der Gleichung. Ich bin sicher, dass ihr 4. Term korrekt ist, da er mit einem Term auf der rechten Seite der Gleichung aufgehoben werden soll. Ich kann jedoch nicht herausfinden, wie sie ihren 4. Term auf der LHS der Gleichung erhalten haben. Der Link deutet darauf hin, dass die Kettenregel und die Inkompressibilitätsannahme beteiligt sind, aber ich bin nicht sicher, wie.
Insbesondere wird der Überstrichbegriff $ \ overline {u_i'u_j '} $ als ein einziger behandelt Begriff. Wie kann ich also die Kettenregel auf $ \ frac {\ teilweise (\ overline {u_i'u_j '})} {\ teilweise x_j} $ anwenden?
Alle Hinweise zum Ausführen der fehlenden Schritte sind sehr willkommen.