Frage:
Modelle von thermischen Federn
HCAI
2015-02-09 00:01:11 UTC
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Ich möchte die thermische Wärmefahne eines Menschen in ruhender Luft in einem Raum betrachten. Ich habe also einen Wassertank mit einer Heizschlange / einem Heizzylinder. Wie berechne ich die Wärmeabgabe meiner Heizschlange, um die Wärmeabgabe eines Menschen (100 W $) in Luft nachzuahmen?

enter image description here

Dies basiert auf der Dimensionsähnlichkeit zwischen Wasser: Luft, Reynolds-Zahl und Reyleigh-Zahl. Die Rayleigh-Zahl, die den Auftrieb regelt, ergibt sich aus: $ \ dfrac {g \ beta} {\ nu \ alpha \ kappa} qx ^ 4 $, wobei:

$ \ alpha = $ thermische Diffusivität $ \ beta = $ Wärmeausdehnungskoeffizient $ \ kappa = $ Wärmeleitfähigkeit $ \ nu = $ kinematische Viskosität $ x $ = Abstand von der erhitzten Oberfläche

Aber ich verstehe nicht wirklich, ob die Rayleigh-Zahl richtig ist Wert, der versucht werden soll, zwischen beiden Szenarien ähnlich zu bleiben. Jede Hilfe wäre sehr dankbar.

BEARBEITEN:

Verwenden Sie also die Q * -Formel, um Ähnlichkeit zwischen den beiden Medien zu erhalten.

$ \ dfrac {Q_ {air}} {\ left (\ rho C_pT _ {\ infty} g ^ {1/2} x \ right) _ {air}} = \ dfrac {Q_ {water}} {\ left (\ rho C_pT _ {\ infty} g ^ {1/2} x \ right) _ {water}} $

und Neuanordnung, um Q_water zu erhalten:

$ Q_ {water} = Q_ {air} \ dfrac {\ left (\ rho C_pT _ {\ infty} g ^ {1/2} x \ right) _ {water}} {\ left (\ rho C_pT _ {\ infty} g ^ {1/2} x \ right) _ {air}} $

Ersetzen Sie dann:

AIR: $ \ rho = 1,225 kg / m ^ 3 $, $ C_p = 1,005 kJ / kg \ , K $, $ T _ {\ infty} = 21 ^ {\ circ} C $, $ x = 0,1 m $, $ Q_ {air} = 100 W $.

WASSER: $ \ rho = 1000 kg / m ^ 3 $, $ C_p = 4,19 kJ / kg \, K $, $ T _ {\ infty} = 8 ^ {\ circ} C $, $ x = 0,1 m $, $ Q_ {air} =? W $

Ich bekomme $ Q_ {water} \ simeq 1.2 \ times10 ^ 4W $ ... Aber das scheint viel zu hoch. Kann das richtig sein?

Einer antworten:
#1
+8
Ben Trettel
2015-02-09 01:07:08 UTC
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Thermofahnen wurden ausführlich für Brandschutzanwendungen untersucht. Oft kennt man die Wärmefreisetzungsrate $ Q $, aber wenig mehr. Eine dimensionslose Gruppe namens $ Q ^ * $ (ausgesprochen "Q-Stern") wird anstelle allgemeinerer Parameter wie der Reynolds-Zahl und der Rayleigh-Zahl verwendet. Dieser Parameter kann als die Stärke der Wärmequelle in einem bestimmten Abstand angesehen werden. Es korreliert gut mit thermischen Federn. Sie können diese Gruppe ableiten, indem Sie die Navier-Stokes-Gleichungen nicht dimensionieren und dimensionslose Gruppen gleich 1 setzen, um die charakteristische Länge und Geschwindigkeit zu definieren. Weitere Informationen finden Sie in Gunnar Heskestads Artikel über diese dimensionslose Gruppe.

Im Fall der Brandmodellierung ignorieren die Leute im Allgemeinen die Ähnlichkeit der Prandtl-Zahlen und einige andere Dinge, also sagen sie die dimensionslosen Temperatur- und Geschwindigkeitsverteilungen sind nur Funktionen von $ Q ^ * $.

Die wichtigsten Parameter sind:

$$ T ^ * \ equiv \ frac {T - T_ \ infty} {T_ \ infty} $$

$$ Q ^ * \ equiv \ frac {Q} {\ rho c_p T_ \ infty (gx) ^ {1/2} x ^ 2} $$

Um genauer zu sein, wenn Sie die Temperatur ($ T $) als Funktion der Höhe ($ x $) über dem heißen Objekt kennen, können Sie $ T ^ * $ als Funktion von $ Q ^ finden * $. $ Q ^ * $ ist wie eine dimensionslose räumliche Koordinate.

Genau genommen wird Ihr Setup nicht genau ähnlich sein, da Ihre Spule und ein Mensch geometrisch nicht ähnlich sind (und die Wärmeflussverteilung auf der Spule) ist wahrscheinlich auch nicht ähnlich). Auf Ihrem Foto gehe ich davon aus, dass sich der Mensch hinlegt, wenn eine angemessene geometrische Ähnlichkeit gewünscht wird. Das Fernfeld sollte in Ordnung sein, und ich gehe davon aus, dass Sie dies interessiert [2].

Es ist auch nicht genau klar, an welcher Menge Sie interessiert sind. Ich nahm an, dass Sie die Temperaturverteilung erhalten möchten in der Wolke beispielsweise in einer Höhe von $ x_1 $ über der Realität, die in Ihrem Modell $ x_2 $ wäre. Korrigieren Sie mich, wenn dies falsch ist.

Auch wenn ich keine Experimente mache, habe ich mir vorgestellt, dass Ihre Heizspule eine Leistung von $ W $ und keinen Wärmefluss hat. Lassen Sie mich wissen, wenn ich mich irre, und ich werde meine Antwort ändern.

Das Ignorieren der anderen Parameter kann in Ihrem Fall gültig sein oder auch nicht (es scheint für den Brandschutz in Ordnung zu sein [1]). Also werde ich die Analyse durchführen, vorausgesetzt, es ist nicht so. Sie können den Rest überspringen, wenn Sie davon ausgehen möchten, dass nur die beiden genannten Parameter erforderlich sind.

Die Anzahl der erforderlichen Gruppen können Sie dem Buckingham $ \ pi $ Theorem entnehmen.

Die relevanten Parameter, die ich identifiziert habe, sind $ T $ (Temperatur in Höhe $ x $), $ x $, $ Q $, $ g $, $ \ alpha $, $ \ beta $, $ \ nu $, $ T_ \ infty $, $ \ rho $ und $ c_p $. Das Buckingham $ \ pi $ Theorem legt nahe, dass es hier 6 dimensionslose Gruppen geben wird. (Vorausgesetzt, ich vermisse keinen Parameter. Ich muss auch überprüfen, ob die Dimensionsmatrix keinen Rangmangel aufweist. Für weitere Details zur Dimensionsanalyse empfehle ich, Dimensionsanalyse und Modelltheorie von Henry Langhaar zu lesen .)

Die ersten 5 dimensionslosen Gruppen sind also:

$$ T ^ * \ equiv \ frac {T - T_ \ infty} {T_ \ infty} $$

$$ Q ^ * \ equiv \ frac {Q} {\ rho c_p T_ \ infty (gx) ^ {1/2} x ^ 2} $$

$$ Pr \ äquiv \ frac {\ nu} {\ alpha} $$

$$ Gr_x \ äquiv \ frac {g \ beta (T - T_ \ infty) x ^ 3} {\ nu ^ 2} $$

$$ \ rho ^ * \ equiv \ beta (T - T_ \ infty) $$

Diese fünfte Gruppe ist von der Boussinesq-Näherung inspiriert. In dieser Näherung wird die Dichtedifferenz als Temperaturdifferenz modelliert. Die Ähnlichkeit in diesem Parameter stellt sicher, dass Ihr Dichtefeld ähnlich ist.

Für die verbleibende Gruppe musste ich ein wenig kreativ werden. Ähnlichkeit erfordert nicht, dass diese Gruppe eine bestimmte Form annimmt, aber es ist am besten, sich an Parameter mit bekannten physikalischen Bedeutungen zu halten (oder an Parameter, die aus maßgebenden Gleichungen abgeleitet werden können, die normalerweise physikalische Bedeutungen haben). Ich kann mir nichts Gutes vorstellen, aber das Folgende funktioniert:

$$ \ Pi_6 \ equiv \ frac {g x} {c_p (T - T_ \ infty)} $$

Aus Gründen der Ähnlichkeit müssen Sie alle übereinstimmen. Es sollte klar sein, dass es eine Herausforderung sein wird, all dies zusammenzubringen. Wie gesagt, es scheint im Brandschutz üblich zu sein, alles außer $ T ^ * $ und $ Q ^ * $ zu ignorieren. Ich weiß nicht, ob dies daran liegt, dass die anderen Parameter keine Rolle spielen, oder ob es nur der Einfachheit halber ist. Es tut mir leid, wenn dies nicht die Antwort ist, die Sie erwartet haben, aber wie bei vielen technischen Dingen ist die Antwort nicht einfach.

[1] Ich erinnerte mich später daran, dass die Nichtdimensionalisierung der Navier-Stokes-Gleichungen dies nahelegt $ Q ^ * $ ist der einzige Parameter in der Lösung. Vielleicht sind $ T ^ * $ und $ Q ^ * $ alles, was Sie brauchen, und der Buckingham $ \ pi $ -Ansatz gibt Ihnen nur überflüssige Parameter. Ich erinnere mich nicht an alle Details der Nichtdimensionalisierung, aber wenn Interesse besteht, kann ich sie sicher reproduzieren.

[2] Das theoretische Argument, das die Verwendung von $ Q ^ * unterstützt. $ geht davon aus, dass die Wärmequelle eine Punktquelle ist. Es ist also wirklich nur in weiter Ferne richtig, weil die Temperatur an der Punktquelle im Modell gegen unendlich geht. Dies liegt daran, dass $ Q ^ * $ bei $ x = 0 $ ins Unendliche geht, wie Sie aus seiner Definition sehen können. Wenn Sie eine Korrelation entwickeln, z. B. $ T ^ * = a (Q ^ *) ^ b $, wobei $ a $ und $ b $ Koeffizienten sind, können Sie dies umgehen, indem Sie einen "virtuellen Ursprung" definieren, der es Ihnen ermöglicht eine Korrelation ohne Singularitäten zu entwickeln. Anstatt $ x $ zu verwenden, definieren Sie stattdessen $ x_ \ text {virtual} = x + x_ \ text {origin} $. Das heißt, $ Q ^ * $ wird jetzt geschrieben:

$$ Q ^ * \ equiv \ frac {Q} {\ rho c_p T_ \ infty (g [x + x_ \ text {origin}] ) ^ {1/2} (x + x_ \ text {origin}) ^ 2} $$

Sie wählen $ x_ \ text {origin} $ so, dass Ihre Korrelation besser passt. Es ist ein weiterer Parameter in der Korrelation. Wenn Sie die Oberflächentemperatur kennen, können Sie $ x_ \ text {origin} $ so auswählen, dass die Oberflächentemperatur dem entspricht, was die Korrelation bei $ x = 0 $ zurückgibt.

Da das Argument, das die Verwendung von $ Q ^ * $ unterstützt, von Anfang an die Fernfeldannahme trifft, ist es nicht klar, dass die einfache Verwendung eines virtuellen Ursprungs ausreicht, um eine Korrelation im Nahfeld gültig zu machen ( auch wenn Sie geometrische Ähnlichkeit haben). Ich kann nicht sagen, ob die anderen Faktoren, die ich identifiziert habe, eine Rolle spielen oder nicht.

+1 für das Einbringen eines Beispiels aus einer anderen Disziplin und das Hervorheben von Annahmen
Hallo Ben, willkommen bei engineering.SE! Dies ist eine ausgezeichnete Antwort, tolle Arbeit!
Danke vielmals! Genau darauf habe ich gehofft und noch mehr. Ich habe jedoch eine Abfrage, die sich auf den Wert bezieht, den x beim Vergleich von Modellen wählen soll, da es sich um eine lokale Variable und nicht um eine globale Größe handelt. Bedeutet das, dass ich versuchen sollte, Q * an allen Punkten in beiden Domänen gleich zu halten? Ich interessiere mich tatsächlich für die Wolke ganz in der Nähe des Zylinders ... Wie ändert dies die Analyse oder Vorhersage? Nochmals vielen Dank für diese tolle Antwort!
@HCAI: Ich habe einen kurzen Teil hinzugefügt, in dem darauf hingewiesen wird, dass $ Q ^ * $ den Platz der räumlichen Koordinate einnimmt, sodass es unmöglich ist, $ Q ^ * $ konstant zu machen (das würde bedeuten, dass es nur einen räumlichen Ort gibt). Ich habe auch eine Fußnote zur Verwendung von $ Q ^ * $ im Nahfeld hinzugefügt. Lassen Sie mich wissen, wenn Sie weitere Fragen haben. Ich möchte auch hervorheben, dass Brandschutzexperimentäre eine Technik namens "Salzwassermodellierung" verwenden, die Sie möglicherweise für relevant halten. Probieren Sie einige Google-Suchanfragen aus, um weitere Informationen zu erhalten.
@BenTrettel Ich habe herausgefunden, dass das Q_water ungefähr 12000W sein muss, aber das scheint enorm. Kann das richtig sein oder habe ich die Formeln völlig falsch verstanden? (Ich habe meine Arbeit in der Frage hinzugefügt)
@HCAI Ich glaube, der Trick dabei ist, dass die verwendete $ Q ^ * $ -Berechnung ein Medium (Gas) mit volumetrischer Expansivität $ \ gamma = T ^ {- 1} $ voraussetzt. Das ist weit weg für Wasser. Verwandte: Gibt es einen Grund, warum Sie für die skalierten Experimente eher Wasser als Luft verwenden möchten?
@Dan Oh, das ist ein bisschen unerwartet! ... Gibt es eine Problemumgehung? Wenn nicht, dann stecke ich ein bisschen fest! Ich wollte Wasser (oder eine andere viskose Flüssigkeit) verwenden, weil es einfacher ist, PIV-, PTV- und LDA-Visualisierungstechniken zu verwenden.
Ich habe es gerade überprüft, und die Ableitung von $ Q ^ * $ verwendet die Boussinesq-Näherung, die nicht davon ausgeht, dass $ \ beta $ die Form eines idealen Gases hat. Soweit ich weiß, wird diese Art von Ähnlichkeit in Experimenten mit Salzwasser verwendet (auch hier würde ich vorschlagen, nach Papieren zu suchen, die dies detailliert beschreiben).
Was die Zahlen betrifft, scheinen Sie einige mathematische Fehler zu haben. Erstens beträgt die Leistung von $ x $ $ 2,5 $, nicht $ 1 $, obwohl dies Ihr Ergebnis nicht ändert, da Sie nichts im Raum skalieren. Ich bekomme das $ Q_ \ text {water} \ ca. 3 \ cdot 10 ^ 5 ~ \ text {W} $, das immer noch groß ist. Es scheint, dass Sie die Größe Ihres Modells reduzieren müssen, um eine vernünftige Anzahl zu erhalten, z. B. scheint die Verwendung von $ x_ \ text {water} = 1 ~ \ text {cm} $ vernünftig (ungefähr 1 kW).
@HCAI: Ich habe vergessen, Sie einzuschließen, damit Sie eine Benachrichtigung über meine Antwort erhalten.
@BenTrettel Danke, ich sehe den Fehler. Das Dilema, das ich habe, ist, dass ich tatsächlich an der Nahfeldtemperatur interessiert bin. Glauben Sie, dass sich die thermische Wolke / Grenzschicht zwischen beiden Szenarien tatsächlich ähnlich verhält? Meine andere Möglichkeit besteht darin, die Ähnlichkeit des Wärmeeintrags zu ignorieren und mich auf die Federgeschwindigkeit über dem Heizgerät durch Reynolds 'Zahlenvergleich zu konzentrieren. Was denken Sie?
@HCAI: Es wird sicherlich Ähnlichkeiten geben. Die Schwierigkeit besteht darin, dass ohne geometrische Ähnlichkeit nicht klar ist, wie Standorte verglichen werden sollen oder ob ein Vergleich gültig ist. Ich weiß momentan nicht, wie ich eine der beiden Fragen beantworten soll. Ich bin mir nicht ganz sicher, was Sie damit meinen, wenn Sie sich auf die Federgeschwindigkeit über der Heizung konzentrieren. Könnten Sie das genauer erklären?


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